Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?
Gan \(2016\) gan \(120\) dalās ar \(3\), tātad arī \(x^{3}\) jādalās ar \(3\). Tas nozīmē, ka arī \(x\) jādalās ar \(3\), bet tad \(x^{3}\) noteikti dalās ar \(9\). Tas nozīmē, ka vienādojuma kreisā puse dalās ar \(9\), jo arī \(2016\) dalās ar \(9\), bet vienādojuma labā puse ar \(9\) nedalās. Tātad šādus skaitļus atrast nav iespējams.
Apskatām dotā vienādojuma kreisās puses izteiksmi pēc moduļa \(9\).
| \(\boldsymbol{x}(\bmod 9)\) | \(x^{3}-\mathbf{2016xyz}(\bmod 9)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0^{3}-0 \equiv 0(\bmod 9)\) |
| \(\pm 1\) | \(( \pm 1)^{3}-0 \equiv \pm 1(\bmod 9)\) |
| \(\pm 2\) | \(( \pm 2)^{3}-0 \equiv \mp 1(\bmod 9)\) |
| \(\pm 3\) | \(( \pm 3)^{3}-0 \equiv 0(\bmod 9)\) |
| \(\pm 4\) | \(( \pm 4)^{3}-0 \equiv \pm 1(\bmod 9)\) |
Esam ieguvuši, ka \(x^{3}-2016xyz\) pēc moduļa \(9\) var pieņemt vērtības \(0; 1\) vai \(-1, bet \)120 \equiv 3(\bmod 9)$. Tātad dotajam vienādojumam nav atrisinājuma veselos skaitļos.
Pretrunas modulis: aplūkojam abu vienādības pušu atlikumus, dalot ar \(9\). Tā kā \(2016\) dalās ar \(9\), tad \(x^3 \equiv 3 \pmod {9}\). Pārbaudot visus kubus \(0^3,1^3,\ldots,8^3\), neviens no tiem nedod atlikumu \(3\), dalot ar \(9\).