Atrast vienu naturālu skaitli, kas lielāks nekā \(2015\) un ko nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu.
Der, piemēram, skaitlis \(2500\). Parādīsim, ka to nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu. Pieņemsim pretējo, ka \(2500=k^{2}+p\), kur \(k\) ir naturāls skaitlis un \(p\) ir pirmskaitlis. Tad \(p=2500-k^{2}=50^{2}-k^{2}=(50-k)(50+k)\). Lai \(p\) būtu pirmskaitlis, mazākajam reizinātājam jābūt vienādam ar \(1\), tas ir, \(50-k=1\) jeb \(k=49\). Tādā gadījumā \(p=50+49=99\), kas nav pirmskaitlis. Tātad pieņēmums ir aplams un skaitli \(2500\) nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu.
Piezīme. Der jebkurš naturāls skaitlis \(n > 2015\) tāds, ka \(n=m^{2}\) un \(2m-1\) ir salikts skaitlis.
Piezīme. Izvēlamies \(N = n^2\), tad \(n^2 - a^2\) dalās reizinātājos katram \(a \geq 1\). Atliek tikai nodrošināties, lai sadalījumā \((n-a)(n+a)\) neviens no reizinātājiem nebūtu \(1\).