Nosaki, vai izteiksmes \(\sqrt{6+2 \sqrt{5}}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}\) vērtība ir racionāls skaitlis!
Pārveidojam doto izteiksmi:
\[\begin{gathered} \sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+2\sqrt{5}+1}-\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}= \\ =\left|\sqrt{5}+1\right|-\left|\sqrt{5}-1\right|=\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1=2 \end{gathered}\]
Izteiksmes vētība ir racionāls skaitlis, jo \(2\) ir racionāls. *Piezīme.* Kāpinot doto izteiksmi kvadrātā, sanāk \(20\), bet \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) nav racionāls.