Atrisinājums

(A) Der, piemēram, skaitlis \(11713\), jo \(1+1+7+1+3=13\) un \(11713:13=901\).

Piezīme. Atrisinājumu var palīdzēt atrast šādi spriedumi. Skaitļa pirmo ciparu (bez pēdējiem diviem cipariem \(1\) un \(3\)) veidotā skaitļa \(x\) ciparu summai jābūt \(9\). Tas nozīmē, ka skaitlis \(x\) dalās ar \(9\). Bet tam ir jādalās arī ar \(13\), jo meklētajam skaitlim \(100x+13\) jādalās ar \(13\) un skaitļi \(100\) un \(13\) ir savstarpēji pirmskaitļi. Tātad \(x\) jādalās ar \(9 \cdot 13=117\). Pats skaitlis \(117\) arī ir mazākais iespējamais skaitlis \(x\).

(B) Nē, nevar. Izmantosim dalāmības pazīmi ar \(11\): skaitlis dalās ar \(11\), ja tā ciparu, kas atrodas pāra pozīijiās, summas un ciparu, kas atrodas nepāra pozīcijās, summas starpība dalās ar \(11\).

Pieņemsim, ka var atrast skaitli formā \(\overline{m_{1}m_{2} \ldots m_{k}11}\), kas dalās ar \(11\). Tad \(\left(m_{1}+m_{3}+\ldots\right)-\left(m_{2}+m_{4}+\ldots\right)\) jādalās ar \(11\). Tā kā \(m_{1}+m_{2}+m_{3}+\ldots+m_{k}=9\), tad vienīgā iespēja, ka \(\left(m_{1}+m_{3}+\ldots\right)-\left(m_{2}+m_{4}+\ldots\right)=0\). Saskaitot pēdējās divas vienādības, iegūstam, ka

\(2 \cdot\left(m_{1}+m_{3}+m_{5}+\ldots\right)=9\) jeb \(m_{1}+m_{3}+m_{5}+\ldots=4,5\), kas nav iespējams nekādām ciparu \(m_{i}\) vērtībām.

Piezīme. No pretējā varam pieņemt ka šāds skaitlis eksistē; apzīmēsim to ar \(S_0\). Nosvītrojot tam pēdējos divus ciparus, iegūsim skaitli \(S_1\), kurš arī dalās ar \(11\) un kuram ciparu summa ir \(9\). Tātad tas dalās ar \(99\). Skaitlī \(S_1\) ir cipari pāra un nepāra pozīcijās; dalāmības pazīme ar \(11\) paredz, ka pāra un nepāra pozīciju ciparu summas ir vienādas vai arī to starpība dalās ar \(11\). Faktiski tām ir jābūt vienādām, jo ja tās atšķirtos par \(11\) vai vairāk, tad \(S_1\) ciparu summa nebūtu \(9\). Bet divas vienādas ciparu summas saskaitot kopā sanāktu pāra skaitlis nevis \(9\).