Atrast visus naturālos skaitļus, kas ir vienādi ar savu ciparu reizinājumu. (Par viencipara skaitļa ciparu reizinājumu sauc tā vienīgo ciparu.)
Ievērojam, ka visi viencipara skaitļi atbilst uzdevuma nosacījumiem. Pierādīsim, ka citu šādu skaitļu nav. Pieņemsim, ka \(n=\overline{c_{1}c_{2} \ldots c_{k}}\), kur \(k \geq 2\) un \(c_{1} \cdot c_{2} \cdot \ldots \cdot c_{k}=n\). Tā kā \(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}\) ir cipari, tad \(c_{1} \cdot c_{2} \cdot \ldots \cdot c_{k} \leq c_{1} \cdot 9^{k-1}\). No otras puses \(\overline{c_1 c_2 \ldots c_k} \geq \overline{c_1 \underbrace{0 \ldots 0}_{k-1}}=c_1 \cdot 10^{k-1}\) Esam ieguvuši, ka \(n \leq c_{1} \cdot 9^{k-1}\) un \(n \geq c_{1} \cdot 10^{k-1}\), kas vienlaicīgi nevar izpildīties. Tātad vienīgie skaitļi, kas apmierina uzdevuma prasības, ir visi viencipara skaitļi.
Pārbaudot dažādus skaitļus var novērot, ka ciparu reizinājums allaž mazāks par pašu skaitli. Pamatojam to 2-ciparu un 3-ciparu skaitļiem \(\overline{ab}\) un \(\overline{abc}\)
\[a\cdot{}b < 10a \leq 10^1\cdot{}a + b = \overline{ab},\]
\[a\cdot{}b\cdot{}c < 10^2\cdot{}a < 100a + 10b + c = \overline{abc}.\]
Skaitļa pirmo decimālciparu reizinot ar \(k\) turpmākajiem cipariem, iegūsim mazāku rezultātu nekā reizinot ar \(10^k\), jo katrs cipars ir mazāks par \(10\).