Atrisinājums

Apskatām dažas \(p\) vērtības:

• ja \(p=2\), tad \(p^{4}-6=16-6=10\)- nav pirmskaitlis;
• ja \(p=3\), tad \(p^{4}-6=81-6=75\)- nav pirmskaitlis;
• ja \(p=5\), tad \(p^{4}-6=625-6=619\)- pirmskaitlis.

Ja \(p > 5\), tad tas ir uzrakstāms formā \(p=5k+a\), kur \(k\)- naturāls skaitlis un \(a \in\{1 ; 2 ; 3 ; 4\}\). Apskatām iespējamos gadījumus atkarībā no \(a\) vērtības:

• ja \(p=5k+1\), tad \(p^{4}-6=(5k+1)^{4}-6=(5k)^{4}+4 \cdot(5k)^{3}+6 \cdot(5k)^{2}+4 \cdot 5k+1-6=\) \(=(5k)^{4}+4 \cdot(5k)^{3}+6 \cdot(5k)^{2}+4 \cdot 5k-5\). Tā kā katrs no saskaitāmajiem dalās ar \(5\), tad skaitlis \(p^{4}-6\) dalās ar \(5\) un tas nav pirmskaitlis;
• ja \(p=5k+2\), tad \((5k+2)^{4}-6=(5k)^{4}+4 \cdot(5k)^{3} \cdot 2+6 \cdot(5k)^{2} \cdot 2^{2}+4 \cdot 5k \cdot 2^{3}+2^{4}-6=(5k)^{4}+4 \cdot(5k)^{3} \cdot 2+6 \cdot(5k)^{2} \cdot 2^{2}+4 \cdot 5k \cdot 2^{3}+10\). Tā kā katrs no saskaitāmajiem dalās ar \(5\), tad skaitlis \(p^{4}-6\) dalās ar \(5\) un tas nav pirmskaitlis;
• ja \(p=5k+3\), tad \((5k+3)^{4}-6=(5k)^{4}+4 \cdot(5k)^{3} \cdot 3+6 \cdot(5k)^{2} \cdot 3^{2}+4 \cdot 5k \cdot 3^{3}+3^{4}-6=(5k)^{4}+4 \cdot(5k)^{3} \cdot 3+6 \cdot(5k)^{2} \cdot 3^{2}+4 \cdot 5k \cdot 3^{3}+75\). Tā kā katrs no saskaitāmajiem dalās ar \(5\), tad skaitlis \(p^{4}-6\) dalās ar \(5\) un tas nav pirmskaitlis;
• ja \(p=5k+4\), tad \((5k+4)^{4}-6=(5k)^{4}+4 \cdot(5k)^{3} \cdot 4+6 \cdot(5k)^{2} \cdot 4^{2}+4 \cdot 5k \cdot 4^{3}+4^{4}-6=\) \(=(5k)^{4}+4 \cdot(5k)^{3} \cdot 4+6 \cdot(5k)^{2} \cdot 4^{2}+4 \cdot 5k \cdot 4^{3}+250\). Tā kā katrs no saskaitāmajiem dalās ar \(5\), tad skaitlis \(p^{4}-6\) dalās ar \(5\) un tas nav pirmskaitlis

Esam ieguvuši, ka uzdevuma nosacījumus apmierina tikai viena \(p\) vērtība \(p=5\).