Doti septiņi dažādi naturāli skaitļi; katriem diviem no dotajiem skaitļiem aprēķināja to summu. Kāds lielākais skaits no šīm summām var būt pirmskaitļi?
Ja starp dotajiem ir \(k\) pāra skaitļi un \(7-k\) nepāra skaitļi, tad starp summām ir \(k(7-k)\) nepāra skaitļi, bet pārējie ir pāra skaitļi un nav pirmskaitļi (neviena no summām nav \(2\), jo \(2\) nav izsakāms kā divu dažādu naturālu skaitļu summa). Izteiksme \(k(7-k)\) savu lielāko vērtību, kad \(k \in\{0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 7\}\), pieņem pie \(k=3\) un \(k=4\), un šī lielākā vērtība ir \(12\).
\(12\) pirmskaitļi ir iespējami, piemēram, ja doti skaitļi \(2,4,8,14,3,9,15\), tad nepāra summas ir \(5, 11, 17, 7, 13, 19, 11, 17, 23, 17, 23, 29\), kas visas ir pirmskaitļi.
Ievērojam, ka vajadzīgs lielākais skaits, kas var būt pirmskaitļi. Nevis lielākais dažādu pirmskaitļu skaits, ko var šādi iegūt.
Dažādu naturālu skaitļu summa nevar būt \(2\). Tātad, lai divu skaitļu summa būtu (nepāru) pirmskaitlis, viens no tiem ir pāru, otrs ir nepāru. Cik no 7 ir pāru un cik nepāru skaitļu?
\[7=0+7=1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1=7+0\]
Lielākais teorētiski iespējamais \((n,p)\) pārīšu skaits ir tad, ja \(4\) no septiņiem skaitļiem ir nepāru un \(3\) ir pāru (vai otrādi): \(4\cdot{}3=12\). Zīmējam grafu:  * Nepāru skaitļi veido kopu \(A\) ar \(4\) elementiem, pāru skaitļi veido kopu \(B\) ar \(3\) elementiem. * Ir tikai \(4\cdot{}3\) pāri, kam ir cerība būt pirmskaitļiem. (Saskaitot \(p+p\) vai \(n+n\) pirmskaitli iegūt nevar.) **Definīcija:** Ja grafā visas virsotnes var sadalīt divās nepārklājošās apakškopās \(A\) un \(B\) tā, ka jebkura grafa šķautne iet no virsotnes kopā \(A\) uz virsotni kopā \(B\), tad grafu sauc par *divdaļīgu*. **Apgalvojums:** Ja divdaļīgā grafā apakškopās \(A\) un \(B\) ir attiecīgi \(a\) un \(b\) virsotnes, tad tajā ir ne vairāk kā \(a\cdot{}b\) šķautnes. Aplūkojam atlikumus, dalot ar 3.  * Izvēloties vismazākos nepāru un pāru skaitļus, tikai \(9\) no \(12\) teorētiski iespējamajiem ir pirmskaitļi (citas summas dalās ar \(9\) - apzīmētas ar raustītu līniju). * Ja papildus prasa, lai visi \(7\) skaitļi dotu atlikumu \(1\) (vai, izņēmuma gadījumā, atlikumu \(0\)), dalot ar \(3\), var panākt, lai visas \(12\) summas būtu pirmskaitļi.