Skaitļi \(A\) un \(B\) ir divi dažādi \(7\)-ciparu skaitļi, kuri katrs satur visus ciparus no \(1\) līdz \(7\). Pierādi, ka \(A\) nedalās ar \(B\).
Apzīmēsim vienu no dotajiem septiņciparu skaitļiem ar \(A\), bet otru- ar \(B\). Tā kā abu skaitļu decimālais pieraksts sastāv no vieniem un tiem pašiem cipariem, to ciparu summas ir vienādas ar \(28\), tad \(A\) un \(B\), dalot ar \(9\), dod vienādu atlikumu \(1\), t.i. \(A=9N+1\) un \(B=9M+1\), \(N\) un \(M\)- naturāli skaitļi. Pieņemsim, ka \(A=kB\), kur \(k\) naturāls skaitlis un \(2 \leq k \leq 7\) (\(k\) nepārsniedz \(7\), jo skaitļi \(A\) un \(B\) abi ir septiņciciparu skaitļi, un \(A\) pirmais cipars nepārsniedz \(7\)). Skaitlis \(kB=k(9M+1)=9kM+k\), dalot ar \(9\), dod atlikumu \(k \neq 1\), tātad \(kB \neq A\), k.b.j.
Piezīme. Atrisinājumu var pierakstīt īsāk, lietojot kongruences: \(A \equiv B \equiv 1(\bmod 9)\), bet \(kB \equiv k(\bmod 9)\). Ja \(A=nB\), tad \(1 \equiv k(\bmod 9)\). Tā kā \(2 \leq k \leq 7\), iegūta pretruna.