Naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(9\) sadalīti trīs grupās pa trim skaitļiem un katrā grupā aprēķināta tajā ietilpstošo skaitļu summa. Vai var būt, ka
(A) visas summas ir pirmskaitļi?
(B) visas summas ir atšķirīgi pirmskaitļi?
(A) Atbilde: var.
Piemēram, \(17\ (1+7+9),\ 17\ (3+6+8)\) un \(11\ (2+4+5)\) vai \(11\ (1+3+7),\ 11\ (2+4+5)\) un \(23\ (6+8+9),\ \ldots\).
(B) Atbilde: nevar.
Aplūkosim, kādas var būt grupu summas. Katrai summai jābūt lielākai par \(6\ (1+2+3)\) un mazākai nekā \(24\ (7+8+9)\). Šajā intervālā ietilpst pirmskaitļi \(7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19\) un \(23\). Visu skaitļu summa ir vienāda ar skaitļu no \(1\) līdz \(9\) summu, t.i. \(45\).
Ja vismazākā vienas grupas skaitļu summa ir \(7\), tad atlikušo divu grupu skaitļu summai ir jābūt \(38\). Vienīgais variants ir \(19+19\), kas neatbilst prasībai, ka summām jābūt atšķirīgām. Tātad \(7\) nevar būt nevienas grupas skaitļu summa.
Ja vismazākā vienas grupas skaitļu summa ir \(11\), tad atlikušo divu grupu skaitļu summai ir jābūt \(34\). Iespējamie varianti ir \(11+23\) un \(17+17\), kas neatbilst prasībai, ka summām jābūt atšķirībām. Tātad \(11\) nevar būt nevienas grupas skaitļu summa.
Ja vismazākā vienas grupas skaitļu summa ir \(13\), tad atlikušo divu grupu skaitļu summai ir jābūt \(32\). Vienīgais variants ir \(13+19\), kas neatbilst prasībai, ka summām jābūt atšķirīgām.
Tātad \(13\) nevar būt nevienas grupas skaitļu summa.
Ja vismazākā vienas grupas skaitļu summa ir \(17\), tad visu grupu summa pārsniedz \(51\), kas ir vairāk nekā visu skaitļu summa.