Atrisinājums

Pieņemsim, ka viens no puišiem izvēlējies skaitļus \(\mathbf{a-1,\ a}\) un \(\mathbf{a+1}\), bet otrs - \(\mathbf{b-1,} \mathbf{b}\) un \(\mathbf{b+1}\). Tā kā visi seši skaitļi ir atšķirīgi, tad varam pieņemt, ka \(\mathrm{a}-1>\mathrm{b}+1\). Izveidosim tabulu, kurā ierakstīsim visus iespējamos skaitļu reizinājumus pa pāriem (skat. 13.zīm.).

Vilksim bultiņu no katras rūtiņas uz blakus rūtiņu, ja skaitlis pirmajā rūtiņā vienmēr ir mazāks par skaitli otrajā rūtiņā.

Viegli redzēt, ka ir vairāki maršruti, kas, ejot pa rūtiņām bultiņu norādītajos virzienos, ļauj nonākt no kreisā augšējā stūra rūtiņas (reizinājuma vērtība vismazākā) labējā apakšējā stūra rūtiņā (reizinājuma vērtība vislielākā). Ja divas rūtiņas atrodas uz kāda no šādiem maršrutiem, tad tajās ierakstītie skaitļi atšķiras.

Katra no rūtiņām atrodas vienā no 14.zīm. attēlotajiem maršrutiem:

Tātad tabulā neviens skaitlis nevar būt ierakstīts vairāk kā divās dažādās rūtiņās. Noteiksim, kāds tabulā var būt lielākais vienādo skaitļu pāru skaits. Vienai no rūtiņām, kurā ierakstīti vienādi skaitļi, jābūt tādai, kas nepieder pirmajam maršrutam. Iespējami divi varianti:

(A) tā ir rūtiņa \((b-1)(a+1)\). Otra rūtiņa nedrīkst atrasties uz viena maršruta ar šo rūtiņu. Vienīgā šāda rūtiņa ir \(b(a-1)\). Ja šie skaitļi ir vienādi, tad \(ab-a+b-1=ab-b\) jeb \(a=2b-1\).

(B) tā ir rūtiņa \((b+1)(a-1)\). Vienīgā rūtiņa, kas neatrodas uz viena maršruta ar to, ir rūtiņa \(b(a+1)\). Ja šie skaitļi ir vienādi, tad \(ab+a-b-1=ab+b\) jeb \(a=2b+1\).

Abas sakarības \(a=2b-1\) un \(a=2b+1\) nevar izpildīties vienlaicīgi, tātad ne vairāk kā divās rūtiņās ierakstītie skaitļi var būt vienādi, tāpēc tabulā ir vismaz astoņi savā starpā atšķirīgi skaitļi.

Atrisinājums

Ja iedomāti \((a-1,a,a+1)\) un \((b-1,b,b+1)\) tad 2 vienādi reizinājumi var rasties vien tad,
ja \(b \pm 1 = 2a\) vai \(a \pm 1 = 2b\).