Sākums

LV.AMO.2010.12.3

Atrodi visus tādus naturālus skaitļus \(n\), ka skaitļi \(n\), \(d(n)\) un \(d(d(n))\) veido dilstošu aritmētisku progresiju. \((d(x)\) ir skaitļa \(x\) naturālo dalītāju skaits.)

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Viegli pamatot, ka katram naturālam \(n\ d(n) \leq 2 \sqrt{n}\). Tad, ja \(n,\ d(n)\) un \(d(d(n))\) veido aritmētisku progresiju, tad \(d(n)=\frac{n+d(d(n))}{2}>\frac{n}{2}\) un \(d(n) \leq 2 \sqrt{n}\). Tāpēc \(2 \sqrt{n}>\frac{n}{2}\) un \(\sqrt{n}<4\), jeb \(n<16\). \(n\) nevar būt pirmskaitlis vai \(1\). Pārbaudot visus saliktos skaitļus, kas nepārsniedz \(15\), atrodam, ka der tikai vērtība \(\boldsymbol{n}=\mathbf{4}\), tad \(d(n)=3\) un \(d(d(n))=2\).