Atrisinājums

Nosauksim skaitli \(N\) par sliktu, ja \(N\) ir nepāra skaitlis vai \(N=2^{2i+1}\), kur \(i\) - vesels nenegatīvs skaitlis. Nosauksim visus pārējos naturālos skaitļus par labiem.

Pierādīsim šādus \(2\) apgalvojumus:

(A) Ja uz tāfeles uzrakstīts labs skaitlis \(N\), tad var izvēlēties tādu \(d>1\), ka \(d, \(d\) ir \(N\) dalītājs un \(N-d\) ir slikts skaitlis.

(B) Ja uz tāfeles uzrakstīts slikts skaitlis \(N\), tad izvēloties tādu \(d>1\), ka \(d\) ir \(N\) dalītājs, vai nu \(d=N\) vai arī \(N-d\) ir labs skaitlis.

Lai pierādītu (A), apskatīsim \(2\) gadījumus.

1) Ja labam skaitlim \(N\) (pāra skaitlis, kas nav izsakāms formā \(2^{2i+1}\)) ir nepāra dalītājs \(d>1\), tad \(N-d\) ir nepāra skaitlis, tātad - slikts skaitlis.

2) Ja skaitlim \(N\) nav nepāra dalītāju \(d>1\), tad \(N=2^{2 k}\), (jo divnieka nepāra pakāpes ir slikti skaitļi). Izvēloties \(d=2^{2k-1}\), iegūstam \(N-d=2^{2k-1}\), kas ir slikts skaitlis.

(B) Ja \(N\) ir nepāra skaitlis, tad visi \(N\) dalītāji \(d\) arī ir nepāra skaitļi un \(N-d\) vienmēr būs pāra skaitlis. Vienīgie sliktie pāra skaitļi ir divnieka pakāpes \(2^{2i+1}.\ N-d\) nevar būt divnieka pakāpe, jo \(N-d=\left(\frac{N}{d}-1\right) d\), tāpēc \(N-d\) dalās ar nepāra skaitli \(d>1\); tātad \(N-d\) ir labs skaitlis.

Ja \(N=2^{2i+1}\), tad visi \(N\) dalītāji \(d>1\) ir pāra skaitļi un \(N-d\) ir pāra skaitlis. Ja \(d, tad \(d \leq 2^{2 i}\) un \(N-d \geq 2^{2 i}\). Tādejādi, \(2^{2i} \leq N-d<2^{2i+1}\), t.i., \(N-d\) nevar būt slikts skaitlis.

No apgalvojumiem (A) un (B) seko, ka, ja uz tāfeles sākotnēji uzrakstīts labs skaitlis, tad pirmais spēlētājs vienmēr var izdarīt gājienu tā, lai pēc viņa gājiena uz tāfeles būtu slikts skaitlis, bet pēc otrā spēlētāja atbildes gājiena uz tāfeles noteikti būs labs skaitlis vai \(0\). Tā kā labiem skaitļiem \(N\) vienmēr ir tāds dalītājs \(d\), ka \(1, tad \(1\). spēlētājs vienmēr varēs izdarīt gājienu. Tātad, ja uz tāfeles sākumā uzrakstīts labs skaitlis, pirmais spēlētājs vienmēr var uzvarēt.

Skaitlis \(2010\) ir labs skaitlis, tātad, pareizi spēlējot, pirmais spēlētājs uzvarēs.