Sākums

LV.AMO.2008.12.4

Vai eksistē tādi trīs naturāli skaitļi, kas visi lielāki par \(1\) un kam piemīt īpašība: katra skaitļa kvadrāts, pamazināts par \(1\), dalās ar katru no abiem pārējiem skaitļiem?

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Atbilde: nē, neeksistē.

Pierādījums. Pieņemsim, ka \(a \geq b \geq c>1\) ir tādi skaitļi, par kādiem runāts uzdevumā. Tā kā \(a^{2}-1\) dalās ar \(b\), tad \(LKD(a, b)=1\). Tā kā \(c^{2}-1\) dalās gan ar \(a\), gan ar \(b\), tad no pierādītā seko: \(c^{2}-1\) dalās ar \(ab\). Bet tas nav iespējams, jo \(0.