Sākums

LV.AMO.2006.11.2

Dots, ka \(a ir pozitīvi veseli skaitļi, \(ad=bc\) un \(\sqrt{d}-\sqrt{a} \leq 1\). Pierādīt, ka \(a\) ir vesela skaitļa kvadrāts.

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Apzīmējam \(b=a+n, \quad c=a+m, \quad d=a+p\), kur \(0. No \(a(a+p)=(a+n)(a+m)\) seko \(p=m+n+\frac{m \cdot n}{a}\). Tā kā \(p\) - naturāls skaitlis, tad \(a \leq m \cdot n\) un \(p \geq m+n+1\), pie tam vienādība pastāv tad un tikai tad, ja \(a=m \cdot n\). No \(\sqrt{a+p} \leq \sqrt{a}+1\) seko \(p \leq 2 \sqrt{a}+1\), tātad \(m+n+1 \leq p \leq 2 \sqrt{a}+1 \leq 2 \sqrt{mn}+1\), no kurienes \(m+n+1 \leq 2 \sqrt{mn}+1\), \(m-2 \sqrt{mn}+n \leq 0\) un \((\sqrt{m}-\sqrt{n})^{2} \leq 0\), no kurienes \(m=n\). Acīmredzami jāpastāv vienādībai \(p=m+n+1\), jo citādi būs \((\sqrt{m}-\sqrt{n})^{2}<0\), kā nevar būt. Atceroties iepriekš iegūto, no šejienes seko, ka \(a=m \cdot n=m^{2}\), k.b.j.