LV.AMO.2006.11.2
Dots, ka \(a ir pozitīvi veseli skaitļi, \(ad=bc\) un
\(\sqrt{d}-\sqrt{a} \leq 1\). Pierādīt, ka \(a\) ir vesela skaitļa kvadrāts.
Noslēpt atrisinājumu
Atrisinājums
Apzīmējam \(b=a+n, \quad c=a+m, \quad d=a+p\), kur \(0. No
\(a(a+p)=(a+n)(a+m)\) seko \(p=m+n+\frac{m \cdot n}{a}\). Tā kā \(p\) - naturāls
skaitlis, tad \(a \leq m \cdot n\) un \(p \geq m+n+1\), pie tam vienādība pastāv
tad un tikai tad, ja \(a=m \cdot n\). No \(\sqrt{a+p} \leq \sqrt{a}+1\) seko
\(p \leq 2 \sqrt{a}+1\), tātad
\(m+n+1 \leq p \leq 2 \sqrt{a}+1 \leq 2 \sqrt{mn}+1\), no kurienes
\(m+n+1 \leq 2 \sqrt{mn}+1\), \(m-2 \sqrt{mn}+n \leq 0\) un
\((\sqrt{m}-\sqrt{n})^{2} \leq 0\), no kurienes \(m=n\). Acīmredzami jāpastāv
vienādībai \(p=m+n+1\), jo citādi būs \((\sqrt{m}-\sqrt{n})^{2}<0\), kā nevar būt.
Atceroties iepriekš iegūto, no šejienes seko, ka \(a=m \cdot n=m^{2}\), k.b.j.