Kādam mazākajam naturālajamam \(n\) visas daļas \(\frac{5}{n+7}, \frac{6}{n+8}, \frac{7}{n+9}, \ldots, \frac{35}{n+37}, \frac{36}{n+38}\) ir nesaīsināmas?
Uzrakstām daļas kā \(\frac{5}{(n+2)+5},\ \frac{6}{(n+2)+6},\ \ldots,\ \frac{36}{(n+2)+36}\). Daļas visas būs nesaīsināmas tad un tikai tad, ja \(n+2\) nevarēs saīsināt ne ar vienu no skaitļiem \(5;\ 6;\ \ldots;\ 36\). Acīmredzot mazākais tāds \(n+2\) ir \(37\), tāpēc \(n=35\).
Izmantojam Eiklīda algoritmu. Visas daļas izskatās šādi: \(\frac{k}{n+(k+2)}\). Vajag, lai \(\mbox{LKD}(k,n+(k+2))=1\).
\[\mbox{LKD}(k,n+(k+2))=\mbox{LKD}(k,n+2)=1,\;\;k=5,\ldots,36.\]
\(n+2=37\) ir savstarpējs pirmskaitlis ar visiem \(k \in [5;36]\), t.i. \(n=35\).