Ar \(n\) apzīmējam patvaļīgu nepāra naturālu skaitli, kas lielāks par \(1\). Pierādīt: abi skaitļi \(n\) un \(n+2\) vienlaicīgi ir pirmskaitļi tad un tikai tad, ja \((n-1)!\) nedalās ne ar \(n\), ne ar \(n+2\).
(A) ievērosim, ka katrs pirmskaitlis, ar kuru dalās \((n-1)!\), nepārsniedz \(n-1\). Tāpēc, ja \((n-1)!\) dalās ar \(n\) resp. ar \(n+2\), tad \(n\) resp. \(n+2\) nav pirmskaitlis.
(B) pieņemsim, ka \((n-1)!\) nedalās ne ar \(n\), ne ar \(n+2\). Tas ir spēkā pie \(n=3\) un \(n=5\), un abos gadījumos gan \(n\), gan \(n+2\) ir pirmskaitlis. Aplūkosim gadījumu \(n \geq 7\) un pieņemsim, ka \(n\) - salikts skaitlis, \(n=a \cdot b,\ 1 un \(1. Tad gan \(a\), gan \(b\) sastopami reizinājumā \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1)\). Pie \(a \neq b\) no tā seko, ka \((n-1)!\) dalās ar \(n\) - pretruna. Pie \(a=b\) iegūstam \(n=a^{2}\); tā kā \(a \geq 3\), tad \(n>2a\) un \(2a \leq n-1\). Tāpēc reizinājumā \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1)\) sastopami gan \(a\), gan \(2a\); tātad \((n-1)!\) dalās ar \(a^{2}\) jeb ar \(n\) - pretruna.
Esam pierādījuši, ka \(n\) - pirmskaitlis.
Pieņemsim, ka \(n+2\) - salikts skaitlis, \(n+2=a \cdot b,\ 1 un \(1. Tā kā \(n\) ir nepāra un \(n \geq 7\), tad \(3 \leq a,\ b \leq \frac{n+2}{3}\), no kurienes seko \(2a \leq n-1\) un \(2b \leq n-1\).
Tālāk pretrunu iegūst tāpat kā pierādot, ka \(n\) ir pirmskaitlis.
Esam pierādījuši, ka \(n+2\) - pirmskaitlis.