LV.AMO.2003.6.4
Šaha turnīrā katrs spēlētājs ar katru citu spēlēja vienu reizi. Par uzvaru iegūst \(1\) punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu - \(0\) punktus. Jānis, Pēteris, Andris un Juris ieguva attiecīgi \(4 \frac{1}{2}\), \(3 \frac{1}{2}\), \(3\) un \(1 \frac{1}{2}\) punktus; neviens no citiem spēlētājiem neieguva vairāk punktu nekā Juris. Cik bija citu spēlētāju un cik punktus viņi ieguva?
Atrisinājums
Turnīrā ar \(n\) spēlētājiem ir \(\frac{1}{2} n \cdot (n-1)\) spēles (katrs no \(n\) spēlē ar katru no \((n-1)\) citiem, bet reizinājumā \(n \cdot(n-1)\) katra spēle ieskaitīta divas reizes). Iegūstam tabulu:
| Spēlētāju skaits | Spēļu skaits = kopējais punktu skaits |
|---|---|
| \(4\) | \(6\) |
| \(5\) | \(10\) |
| \(6\) | \(15\) |
| \(7\) | \(21\) |
| \(8\) | \(28\) |
| \(>8\) | \(>28\) |
Jānis, Pēteris, Andris un Juris kopā ieguva \(12 \frac{1}{2}\) punktus. Tātad spēlētāju skaits ir vismaz \(6\). Ja tas būtu \(7\), tad \(3\) pārējie spēlētāji ieguvuši \(21-12 \frac{1}{2}=8 \frac{1}{2}\) punktus, tātad kāds no tiem vismaz \(3\) punktus - pretruna. Ja spēlētāju skaits būtu \(8\), tad \(4\) pārējie spēlētāji kopā ieguvuši \(28-12 \frac{1}{2}=15 \frac{1}{2}\) punktus, tātad kāds no tiem vismaz \(4\) - pretruna. Ja spēlētāju skaits būtu \(>8\), tad pārējo spēlētāju būtu \(\geq 5\), tie savā starpā katrs spēlētu \(\geq 4\) spēles, tātad kāds no tiem jau savstarpējās spēlēs iegūtu vismaz \(2\) punktus (nevar būt, ka katrs iegūst mazāk nekā zaudē), bet \(2>1 \frac{1}{2}\) -- pretruna.
Tātad spēlētāju skaits varbūt varētu būt \(6\). Abi pārējie spēlētāji \(X\) un \(Y\) kopā ieguvuši \(15-12 \frac{1}{2}=2 \frac{1}{2}\) punktus. Lai izpildītos uzdevuma nosacījumi, vienam no tiem jāiegūst \(1 \frac{1}{2}\) punkti, otram -- \(1\) punkts.
!!! Jānoskaidro, vai turnīrs ar šādiem rezultātiem iespējams. To parāda 5.zīm. tabula.
