Dots, ka \(n\) - vesels pozitīvs skaitlis un skaitļi \(2n+1\) un \(3n+1\) ir veselu skaitļu kvadrāti.
(A) atrodiet kaut vienu tādu \(n\),
(B) vai \(5n+3\) var būt pirmskaitlis?
(A) piemēram, \(n=40\).
(B) nē, nevar. Tiešām, apzīmēsim \(2n+1=x^{2},\ 3n+1=y^{2}\). Tad \(x>1,\ y>1\) un \(5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4x^{2}-y^{2}=(2x-y)(2x+y)\). Tā kā \(x\) un \(y\) ir naturāli skaitļi, \(x,\ y>1\) un \(5n+3\) - pirmskaitlis, tad jābūt \(2x-y=1\), \(2x+y=5n+3\). No šejienes \(2y=5n+2\). Tāpēc \(4y^{2}=25n^{2}+20n+4>12n+4=4(3n+1)=4y^{2}\) - pretruna.