LV.AMO.2003.10.2
Uz trijstūra \(ABC\) malām \(AC\) un \(AB\) ņemti attiecīgi punkti \(M\) un \(N\). Taisne \(t\) dala uz pusēm trijstūra ārējos leņķus pie virsotnes \(A\). Riņķa līnijas, kas apvilktas ap \(\triangle ABM\) un \(\triangle ACN\), krusto taisni \(t\) attiecīgi punktos \(K\) un \(L\). Pierādiet, ka trijstūri \(KBM\) un \(LCN\) ir vienādsānu un līdzīgi savā starpā.
Atrisinājums
Apzīmēsim \(\triangle ABC\) ārējo leņķi pie virsotnes \(A\) ar \(2 \alpha\) (skat. 10.zīm.).
Tad \(\sphericalangle LAC=\alpha\); tāpēc arī \(\sphericalangle LNC=\alpha\) (ievilkti leņķi, kas balstās uz to pašu loku). Savukārt \(\sphericalangle CAB=180^{\circ}-2 \alpha\), tāpēc \(\sphericalangle LAN=180^{\circ}-2 \alpha+\alpha=180^{\circ}-\alpha\). No riņķī ievilktā četrstūra \(LANC\) seko, ka \(\sphericalangle LCN=180^{\circ}-\left(180^{\circ}-\alpha\right)=\alpha\). Tātad \(\sphericalangle LCN=\sphericalangle LNC=\alpha\). Līdzīgi spriež par \(\triangle KBM\). Vienādsānu trijstūri ar vienādiem leņķiem pie pamata ir līdzīgi.