LV.AMO.2013.9.4  

i

Dota skaitļu virkne \(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots\), kurā \(x_{0}>0\) un \(x_{n+1}=x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\) visiem \(n \geq 0\). Pierādīt, ka \(x_{100}>20\).

Atrisinājums

40.AMO, 9.klases 4.uzdevums 00:29 Uzdevuma saprašana: Virkni viennozīmīgi uzdod pirmais loceklis un formula, kas ļauj izrēķināt katru nākamo locekli. 00:49 Uzdevuma saprašana: Visi virknes locekļi ir pozitīvi. 01:13 Risinājums: Kāpinot kvadrātā, mainīgais x_n var noīsināties. Metode: Kāpināšana kvadrātā. 02:49 Risinājums: Locekļa atmešana un pāreja uz nevienādību. Metode: Pāreja uz nevienādību. 03:23 Risinājums: Ja katrs nākamais virknes locekļa kvadrāts ir par 4 lielāks nekā iepriekšējā locekļa kvadrāts, tad simtais locekļa kvadrāts būs par 400 lielāks nekā nulltā locekļa kvadrāts. Metode: Indukcija. 05:18 Atskats: Kas notiek, ja dažādām x_0 vērtībām izrēķina x_100, un attēlo grafika veidā. 06:30 Atskats: Vai x_100 noteikti ir lielāks par 20 un pie kura x_0 var iegūt vismazāko x_100 vērtību.