Kādas valodas alfabētā ir \(i\) patskaņi (\(i \geq 2\)) un \(j\) līdzskaņi (\(j \geq 2\)). Šajā valodā par vārdu sauc jebkuru galīgu burtu (patskaņu un līdzskaņu) virkni, kas satur vismaz vienu burtu un kurā nekādi divi patskaņi neparādās pēc kārtas un pēc kārtas uzrakstīti līdzskaņi ir ne vairāk kā divi (piemēram, ja " \(A\) " ir patskanis, bet " \(B\) " līdzskanis, tad, piemēram, " \(ABBA\) " ir vārds, turpretī " \(BAAB\) " un " \(ABBBA\) " nav vārdi).
Ar \(S(n)\) apzīmēsim visu to vārdu skaitu, kuri sastāv no \(n\) burtiem, \(n \geq 1\).
Pierādīt, ka visiem naturāliem skaitļiem \(n\) ir spēkā vienādība
\[S(n+3)=i \cdot j \cdot S(n+1)+i \cdot j^{2} \cdot S(n)\]