Skaitļu teorija

Lekciju tēmasUzdevumu lapaTests nākamajā nodarbībā
(1) Dalāmība 2016-10-01 (PPTX) Dalāmības attiecība. Dalāmības pazīmes. Pirmskaitļi, pirmreizinātāji. Pirmskaitļu bezgalīgais skaits. Kopsaucēji, $\operatorname{gcd}(m,n)$, $\operatorname{lcm}(m,n)$. Daudzkārtņu skaits intervālā. Pirmskaitļa pakāpes izdalīšana. Dalītāju skaits un summa. Uzdevumi
Atrisinājumi
Tests
Atrisinājumi
(2) Kongruences 2016-11-05 (PPTX) Kongruenču klases. Dalāmības pazīmes un kongruences. Inversie elementi. Rekurentas atlikumu virknes. Pamatojumi ar invariantiem. Mazā Fermā teorēma. Eilera teorēma. Uzdevumi
Atrisinājumi
Tests
Atrisinājumi - TBD
(3) Skaitļu kopas 2016-12-17 (PPTX) Aritmētikas Peano aksiomas. Aritmētiskās operācijas un to inversās. Iracionalitātes pierādījumi un vienādojumi $p^2 = 2q^2$ u.c. veselos skaitļos. Bezgalīgā nokāpiena metode. Reizināšana ar saistīto izteiksmi. Fibonači skaitļi u.c. rekurentas sakarības. Uzdevumi
Atrisinājumi
Tests
Atrisinājumi - TBD
(4) $\mathbb{Z}$ algebriskās īpašības 2017-01-14 (PPTX) Aritmētikas pamatteorēmas pierādījums. Pirmskaitļa kārta. Pieraksts, izdalot pirmskaitļa pakāpi. Pakāpes pacelšana. Lineāras kongruences. Ķīniešu atlikumu teorēma. Grupas jēdziens. Kvadrātiskas kongruences. Pretrunas modulis. Dažādu moduļu izmantošana. Modulis, kas ir mainīgais. Uzdevumi TBD
(5) Veselo skaitļu funkcijas 2017-02-11 (PPTX) Starptautiskās olimpiādes (C). Multiplikatīvas funkcijas jēdziens. Dalītāju skaita funkcija. Dalītāju summas funkcija. Eiklīda funkcijas īpašības. Mēbiusa funkcijas īpašības. Uzdevumi par veselo daļu. TBD TBD
(6) Polinomi skaitļu teorijā 2017-03-25 (PPTX) Polinomi ar reāliem koeficientiem. Kompleksie skaitļi un to saistītie. Polinomi ar racionāliem koeficientiem. Polinomu atvasināšana. Racionāli punkti grafikos. Konstrukcijas ar cirkuli un lineālu. Rezultāti antīkajā pasaulē (C). Skaitļu teorijas miniatūras (C). TBD TBD
(7) Veselu skaitļu algoritmi un spēles (nav šīgada nodarbību plānā) Nepilnā indukcija, novērojumu sistematizācija un vispārināšana. Induktīvās hipotēzes pastiprināšana. Dažādas indukcijas shēmas, pierādot apgalvojumus par visiem naturālajiem skaitļiem. Veselu skaitļu virknes vispārīgais loceklis. Progresijas, "trijstūru", "kvadrātu" skaitļi. Virkņu summēšanas piemēri. Spēles ar veseliem skaitļiem. TBD TBD
(8) Invarianti un Dirihlē princips (nav šīgada nodarbību plānā) Izteiksmes dalāmība vai atlikums kā invariants. Ekstremālais elements un bezgalīgā pazeminājuma metode. Dirihlē princips atlikumu kopā. Invarianta atrašana. Padziļināti par periodiskām atlikumu virknēm. Bezgalīgā pazemināšana. Veselu skaitļu funkcijas vērtības noteikšana, izmantojot divas nevienādības. Veselu skaitļu virkņu "pārlēkšana" vērtībām. TBD TBD
(9) Analītiskas metodes (nav šīgada nodarbību plānā) Virkņu robežas. Harmoniskā rinda. Naturālais logaritms. Pirmskaitļu izvietojuma funkcija $\pi(x)$. Bertrāna postulāts. Dirihlē teorēma: Aritmētiskas progresijas, kam $\operatorname{gcd}(a_1,d)=1$, satur bezgala daudz pirmskaitļu. TBD TBD

Uzdevumi par skaitļu teoriju

Kursa grāmata